Здравствуйте! Помогите разобраться, пожалуйста!
Непонятен отрывок из учебника (Качмаж):
"Если мы рассмотрим ортонормированную систему, полную относительно С (пространство непрерывных функций), но не полную относительно L2 и выберем определенные коэффициенты, то может существовать только одна непрерывная функция, имеющая заданное разложение. Не исключена, тем не менее, возможность, что существует и другая (разрывная) функция из L2, которая имеет то же разложение. Этим объясняется парадоксальное явление, когда оказывается возможным, что ряд Фурье непрерывной функции сходится, но имеет своей суммой другую (разрывную) функцию."
Непонятно вот что:
При выборе определенных коэффициентов мы определяем функции из L2, ряды Фурье которых имеют эти коэффициенты (это следует из теоремы Рисса-Фишера). Но этим коэффициентам соответствует ровно одна функция F из C, поскольку ортонормированная система, по которой мы раскладываем в ряд, полна относительно С. При этом, поскольку ортонормированная система полна, ряд Фурье функции F сильно сходится к F. В L2 нет функций, отличных от F, ряд Фурье которых состоит из этих коэффициентов и сходится сильно к F (это следует из теоремы Рисса - Фишера).
Вернемся к отрывку из учебника, а именно к фразе: "оказывается возможным, что ряд Фурье непрерывной функции сходится, но имеет своей суммой другую (разрывную) функцию". Допустим, существует непрерывная функция F, ряд Фурье которой сходится к другой, разрывной, функции. Получается, что этот ряд Фурье сходится сильно к непрерывной функции, и, в тоже время, сходится к другой, разрывной, функции. Но известно, что если последовательность функций сходится и всюду, и в среднем, то оба эти предела совпадают почти всюду.
Как понимать этот отрывок из книги? В моем рассуждении есть ошибки?
Примечание:
Нашла ошибку в своих рассуждениях - пространство С[0,1] с нормой, совпадающей с нормой в L2, не является гильбертовым (так как не полно), поэтому в нем не эквивалентны понятия полноты и замкнутости системы.
RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.
Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.
Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.