Как найти площадь ограниченную несколькими кривыми?

Luntik_1, 374 просмотра

Подходящей заменой найти площадь ограниченную следующими кривыми

y^2 = 2p(x-p/2);
y^2 = 2q(x-q/2);
y^2 = 2r(x-r/2);

p,q,r > 0;
x,y > 0;

Какую замену удобно использовать?

Примечание:
Anti4to, какое ветвление получается при при извлечении квадратного корня? И что такое "ветвление"?

Примечание:
Замена здесь нужна по задание.

Замена параболическая:
y=uv^(1/2)
x=1/2*(v^2+u^2)

Можно использовать:
y=uv;
x=1/2*(v^2+u^2)
Разница только в пределах интегрирования.

По графику пересечения кривых определим, что:
(qp)^(1/2)<y<(qr)^(1/2)

Из замены видно, что:
1 точка:
y=(u*v)^(1/2)=(qr)^(1/2) => u=q, v=r;
2 точка:
y=(u*v)^(1/2)=(pq)^(1/2) => u=p, v=q;

Значит, что p<u<q && r<v<q

Строим плоскую фигуру. Получается прямоугольная область, например, АБСД, где А, Б, С, Д - это точки, в которые отобразились точки из графика кривых. Но можно заметить, что на рисунке с прямоугольной областью будет еще 4ая точка, когда u=q, v=q, т.е. q^2. На графике кривых это точка НЕ пересечения кривых, а просто точка на кривой.

Нужно найти площадь прямоугольной области.

Якобиан отображения:
J = (u^2-v^2)/(2*(u*v)^(1/2)) - для первой замены.
J = u^2 + v^2 - для второй.

Выбираем замену ( что больше нравится)

Интегрируем

Integrate[Integrate[{1},{v,q,r}],{u,p,q}]

Упростим полученное.

Ответ в идиале...

1/3*(q^(1/2)-p^(1/2))(r^(1/2)-q^(1/2))(r^(1/2)-p^(1/2))(p^(1/2)+r^(1/2)+q^(1/2))

Примечание:
Да, я забыл, про якобин.
Я брал для первой замены.
Интеграл получится.
Integrate[Integrate[{1},{v,q,r}],{((u^2+v^2)/(2*(u*v)^(1/2))),p,q}]

Примечание:
Иван Козначеев, я думаю тут не будет симметрии, т.к. x>0 && y>0. Да, я с вами согласен, что замена тут не уместна.

Ответы:

anti4to

sqrt(эт я так корень обозначу), извлекаешь корень, будет ветвление, вместо ветвления пишем с плюсом и умножаем на два, получается sqrt(2*p*x-p^2) (и еще раскрываешь скобки), замена t^2=2*p*x-p^2, получается, 2*t *dt=2*p*dx, dx=(a/p) * dt, и тогда S=2/p Интеграл (t^2) *dt=(2*t^3)/(3*p), ну и естественно с пределами нтегрирования, и вместо t подставляем замену!

Иван Козначеев

ветвление — существование двух ветвей у решения или у кривой
для кривой y²=f(x) есть две ветви y=√f(x) и y=-√f(x)
y² = 2px-p²
y² = 2qx-q²
y² = 2rx-r²
можно конечно представить 2px-p², как x²-(x-p)², но я не вижу смысла.
Как не вижу и смысла использовать замену вообще
x₁=(y²+p²)/(2p)
x₂=(y²+q²)/(2q)
x₃=(y²+r²)/(2r)
эти кривые представляют собой параболы с осью Ox
пусть p < q < r, если не так, переобозначим числа, чтобы это было так
ищем точки пересечения парабол
(y²+p²)/(2p)=(y²+q²)/(2q) ⇒ y²=p q
(y²+p²)/(2p)=(y²+r²)/(2r) ⇒ y²=p r
(y²+q²)/(2q)=(y²+r²)/(2r) ⇒ y²=q r
I₁=интеграл (x₁ dy в пределах от √(pq) до √(pr))
I₂=интеграл (x₂ dy в пределах от √(pq) до √(qr))
I₃=интеграл (x₃ dy в пределах от √(pr) до √(qr))
искомая площадь равна 2(I₁+I₃-I₂) (2 из симметрии относительно оси Ox)
конечно, для полноты картины нужен рисунок с тремя параболами x₁(y), x₂(y), x₃(y)

15 лет назад

RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.