Является ли выпуклым множество Х={x∈R^n: Ax ≤ b, x ≥ 0}, где А- квадратная матрица порядка n, b∈R^n.

Ответы:

Ant1973

А как у Вас задано отношение порядка для векторов? То есть, что значит, x>=0 для n-мерного вектора?

Все возможно

Ant1973

Соотвественно, x<=y означает, что x_i<=y_i? Достаточно оригинальная трактовка, ну да ладно.
Навскидку, множество будет выпуклым.

Ant1973

Ну, смотрите, предположим, множество не выпуклое, тогда мы можем найти две таких точки из X, x и y, что существует точка z, лежащая между ними и не принадлежащая X. Без ограничения общности для упрощения выкладок можно считать, что она лежит строго посередине: z=(x+y)/2.
Тогда образом этой точки будет Az = A(x+y)/2 = (по свойствам линейного преобразования) = (Ax+Ay)/2.
Но Ax и Ay у нас по условию принадлежат X, т.е. Ax<=b; Ay<=b, тогда Ax+Ay <= 2b (по-хорошему, это надо бы доказать, поскольку операция сравнение у вас несколько нестандартная, но вроде это несложно), и соответственно, (Ax+Ay)/2 <= b, т.е. z тоже принадлежит X. Получили противоречие, значит множество выпуклое.
q.e.d.

15 лет назад

RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.