ln(1+x) = x - x²/2 + o(x²)
ln²(1+x) = x² - x³ + o(x³)
1/ln²(1+x) = 1/x² 1/(1-x+o(x)) = 1/x² (1+x+o(x))
1/ln²(1+x) - 1/x² = 1/x² (1 + x + o(x) -1) = 1/x² (x+o(x)) = 1/x + o(1/x)
cos x = 1 - x²/2 + o(x³)
sin x = x + o(x²)
ln(cos x) = ln(1 - x²/2 + o(x³)) = -x²/2 + o(x²)
sin x ln(cos x) = -x³/2 + o(x³)
(cos x)^(sin x) = exp(sin x ln(cos x)) = 1 - x³/2 + o(x³)
√(1+x³) = 1 + x³/2 + o(x³)
(cos x)^(sin x) √(1+x³) = 1 + o(x³)
a = ((cos x)^(sin x) √(1+x³)) ^ (1/ln²(1+x) - 1/x²) =
= (1 + o(x³)) ^ (1/x + o(1/x))
ln a = (1/x + o(1/x)) ln(1+o(x³)) = (1/x + o(1/x)) (o(x³)) = o(x²)
a = exp (o(x²)) = 1 + o(x²)
предел равен 1
не то сделал, мне по фотографии показалось, что там вторые степени, а не седьмые
исправляюсь
ln(1+x) = x - x²/2 + o(x²)
ln⁷(1+x) = x⁷ - 7x⁸/2 + o(x⁸)
1/ln⁷(1+x) = 1/x⁷ 1/(1-7/2 x+o(x)) = 1/x⁷ (1+7/2 x+o(x))
1/ln⁷(1+x) - 1/x⁷ = 1/x⁷ (1 + 7/2 x + o(x) -1) = 1/x⁷ (7/2 x+o(x)) = 7/2 1/x⁶ + o(1/x⁶)
дальше придётся раскладывать до больших степеней (как минимум до 6-й)
cos x = 1 - x²/2 + x⁴/24 + o(x⁵)
ln(cos x) = ln(1+t) = t - t²/2 + O(t³), где t = cos x - 1 = -x²/2 + x⁴/24 + o(x⁵)
t² = (-x²/2 + x⁴/24 + o(x⁵))² = x⁴/4 + o(x⁵)
t³ = O(x⁶) = o(x⁵)
ln(cos x) = -x²/2 + x⁴/24 - x⁴/8 - x⁶/24 + o(x⁵) = -x²/2 - x⁴/12 + o(x⁵)
sin x = x - x³/6 + o(x⁴)
sin x ln(cos x) = -x³/2 + x⁵/12 - x⁵/12 - x⁷/45 + o(x⁶) = -x³/2 + o(x⁶)
(cos x)^(sin x) = exp(sin x ln(cos x)) = 1 + t + t²/2 + O(t³), где t = -x³/2 + o(x⁶)
t² = x⁶/4 + o(x⁶)
(cos x)^(sin x) = 1 - x³/2 + x⁶/8 + o(x⁶)
ln(1+x³) = x³ - x⁶/2 + o(x⁶)
1/2 ln(1+x³) = x³/2 - x⁶/4 + o(x⁶)
√(1+x³) = exp(x³/2 - x⁶/4 + o(x⁶)) = 1 + t + t²/2 + o(t²), где t = x³/2 - x⁶/4 + o(x⁶)
t² = x⁶/4 + o(x⁶)
√(1+x³) = 1 + x³/2 - x⁶/4 + x⁶/8 + o(x⁶) = 1 + x³/2 - x⁶/8 + o(x⁶)
(cos x)^(sin x) √(1+x³) = (1 - x³/2 + x⁶/8 + o(x⁶)) (1 + x³/2 - x⁶/8 + o(x⁶)) =
= 1 - x³/2 + x⁶/8 + x³/2 - x⁶/4 - x⁶/8 + o(x⁶) = 1 - x⁶/4 + o(x⁶)
ln ((cos x)^(sin x) √(1+x³)) = ln (1+t) = t + o(t), где t = -x⁶/4 + o(x⁶)
ln ((cos x)^(sin x) √(1+x³)) = -x⁶/4 + o(x⁶)
(1/ln⁷(1+x) - 1/x⁷) ln ((cos x)^(sin x) √(1+x³)) = (7/2 1/x⁶ + o(1/x⁶)) (-x⁶/4 + o(x⁶)) =
= -7/8 + o(1)
выражение под знаком предела равно exp(-7/8 + o(1)) = exp(-7/8) exp(o(1)) = exp(-7/8) ( 1 + o(1))
предел равен exp(-7/8)