Помогите с решением задачи по математическому анализу.

fk_ku, 462 просмотра

В эллипсоид ((x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)+(z^2)/(c^2)=1)) списать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
Ответ:измерения параллелепипеда:(2*a)/(sqrt(3)); x=(2*b)/(sqrt(2)); (2*c)/(sqrt(2));
Задача из Демидовича(3696).
Если найдете решения в интернете или какой-то книге дайте ссылку пожалуйста.

Ответы:

лямпа

Ох как же я ненавижу этого Демидовича.
(не могла сдержаться)

Антон С.

Пусть вершина искомого параллелепипеда находится в точке (ax,by,cz), т.е. его размеры 2ax x 2by x 2cz.
V = (8abc)xyz
Поскольку a,b,c фиксированы, нам нужно максимизировать xyz при условии, что (ax,by,cz) лежит на эллипсоиде.
Подставим в уравнение эллипсоида, получим
x^2 + y^2 + z^2 = 1
z = sqrt(1 - x^2 - y^2)
Итак, мы ищем максимум функции V(x,y) = x*y*sqrt(1 - x^2 - y^2) при 0 < x,y <1
dV/dx = y(1 - 2 x^2 - y^2) / sqrt(1 - x^2 - y^2)
dV/dy = x(1 - x^2 - 2 y^2) / sqrt(1 - x^2 - y^2)
Из условия локального экстремума dV/dx = dV/dy = 0 получаем
1 - 2 x^2 - y^2 = 0
1 - x^2 - 2 y^2 = 0
т.е.
2 x^2 + y^2 = 1
x^2 + 2 y^2 = 1
Решаем систему, находим x = y = 1/√3
Подставляем, получаем z = 1/√3
Итак размеры параллелепипеда максимальной площади 2a/√3 x 2b/√3 x 2c/√3

Без имени

Ссылки

[1]
Без названия (Web)

13 лет назад

RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.