Вопрос о видеокарте.

Вполне вероятно, что видюха отслужила своё. Пробуй у друзей поставить её или в сервисе протестить, если так же будет, то делай выводы уже)

350W обычно для 9800gt достаточно, исключением может быть только очень дешевый БП.
Переходник правильный, подключать надо обязательно оба моликса (2 белых разъема).
По поводу того что монитор погас: после того как монитор гаснет какая индикация у монитора на индикаторе, меняет ли он цвет начинает моргать по этой индикации можно понят идет ли сигнал на монитор.
Если сигнал идет а изображения нет, то скорей всего это может быть связано с тем что стоит не корректное разрешение (возможно старые или не соответствующие драйвера) или монитор не исправен и гаснет подсветка экрана если монитор ЖК. Неисправность монитора иногда можно от диагностировать простым способом, при включеном ПК, после того как изображение пропало, выключить питание монитора клавишей включения, подождать мин 3-5 и включить, если вы увидели рабочий стол а потом опять пропало изображение то скорей всего неисправен монитор.
Если не идет сигнал на монитор то надо проверить VGA кабель возможно он переломлен или проблемы с разъемом. Или не исправна видеокарта. Кстати у видеокарты обычно 2 разъема, попробуйте перед включением ПК подключить кабель VGA к другому разъему.