доказать, что (3^(2n+3)-24 n +37)\64

ну и нахера тебе это?

Думаю, можно доказать по индукции.
Пусть M(n) = 3^(2n+3)-24n+37
При n = 1 получаем
M(1) = 3^5 - 24 + 37 = 243 + 13 = 256 = 64*4 - делится.
Пусть M(n) делится на 64 при некоем n. Вычислим M(n+1)
M(n+1) = 3^(2n+2+3) - 24(n+1) + 37 = 3^(2n+5) - 24n - 24 + 37 = 3^(2n+5) - 24n + 13.
Вычтем M(n+1) - M(n) и докажем, что разность делится на 64.
M(n+1) - M(n) = 3^(2n+5) - 24n+13 - (3^(2n+3) - 24n + 37) = 3^(2n+5) - 3^(2n+3) - 24 =
= 3^(2n+3)*(3^2-1) - 24 = 3^(2n+3)*8 - 3*8 = 3^(2n+2)*3*8 - 3*8 = 3*8*(9^(n+1) - 1)
Дальше идут довольно тонкие рассуждения.
Разность 9^(n+1) - 1 при любом n можно разложить на множители (бином Ньютона)
9^(n+1) - 1 = (9 - 1)*(9^n + C(1,n)*9^(n-1) + C(2,n)*9^(n-2) + ... + C(n-1,n)*9 + 1)
То есть разность 9^(n+1) - 1 при любом n делится на 9 - 1 = 8. Получаем
3*8*(9^(n+1) - 1) = 3*8*8*(9^n + C(1,n)*9^(n-1) + C(2,n)*9^(n-2) + ... + C(n-1,n)*9 + 1)
Это, очевидно, делится на 64.
Таким образом, мы получили, что разность M(n+1) - M(n) делится на 64 при любом n.
И мы знаем, что M(1) делится на 64.
А это значит, что любое M(n) тоже делится на 64.