Зачем нужно решать задачи, которые не имеют решения?

Так спросите об этом у Перельмана! Он одну решил и замкнулся в себе...

решением такой задачи является доказательство, что решений нет. это также непросто, как и решить задачу, имеющую решение.

Сложный вопрос :)
Наверное по двум причинам:
1. Ради процесса. В процессе решения нерешаемой задачи находится огромное количество задач из смежных областей, или даже совсем неожиданных никак не связанных с нашим предметом.
2. Для проверки что задача всё же нерешаема. Даже очевидные задачи могут быть нерешаемы только в обывательском понимании как тот же корень из "-1", или иметь частные решения что для практического применения может быть вполне достаточно. Та же геометрия Лобачевского.
3. Ради уверенности что задача и в самом деле нерешаема. Важно, например, в криптографии. Например, что нельзя раскрутить обратно шифр без ключа.
4. Просто ради любопытства для тренировки ума и нахождения парадоксов.
5. Для апробации нового инструментария. То что нельзя было решить год назад, возможно можно решить сегодня, не говоря уж о более значительных промежутках времени. Сегодня код шифровальной машины Энигма вполне так себе подбирается едва ли не на рядовом смартфоне, а в годы Втором мировой на суперЭВМ Колоссус не могли нормально решить.
6. Что бы сделать подлянку ближнему. Хотя это конечно же или высший пилотаж гениев этого мира, или что-то невообразимо тупое на уровне софистики. Подсунуть якобы уже решённую задачу с подколкой "а тебе слабо?" и понаблюдать как будет пытаться решить. Если решит, будет ещё интереснее.

В ходе решения либо выясняется, что частные, приблизительные или числовые решения - есть, либо удается решить задачку не относящуюся к делу.
Думать, говорят, полезно. Зато не думать - точно приятно ;)

Ну, хотя бы для того, чтобы убедиться в том, что решения нет.

Чтоб доказать себе что это так и есть

Для развития ментальной оболочки души.
P.S.: читайте книги Секлитовой Л.А. и Стрельниковой Л.Л. и многое станет ясным.

Вот как раз этим я никогда не занимаюсь.

Чтобы убежать от решения насущных задач.

Деточка (начал он, поправив пенсне), это нужно, исключительно, для интеллектуальных понтов.

Чтобы создать что-нибудь новое, или понять всё насущее.