Существует несколько "типов" средних значений. Как и где используется среднее геометрическое?

Ну индексы, например, в макроэкономике. Индекс Фишера тот же.

краткого ответа не может быть
как пример мат. ожидание- смещенная и несмещенная оценка
это вещи с глубоким смыслом
если нужно глубже--смотрите учебники по теор вероятности
если вопрос без цели, то плюньте на тонкости
ограничьтесь формальными определениями

О! Как раз среднее герметрическое (GEOMEAN) принято при усреднении прироста производительности на пакете тестовых вычислительных задач. Ну, например, все задачи из пакетов SPEC (www.spec.org) так обрабатываются. Дело в том, что даже один яркий результат при арифметическом усреднении способен сильно повлиять на интегральное (усредненное) значение. Напротив, при геометрическом усреднении среднее значение довольно инертно и не сильно отклоняется при точечных успехах (всплесках). Ну, совсем для наглядности вот картинка (http://www.spec.org/cpu2006/results/res2008q3/cpu2006-20080903-05234.html). Смотреть надо либо на черные полоски, либо на синие - не очень важно. Видно, что на 462й задаче наблюдается серьезный прирост производительности, а вместе с тем среднее  значение (показано вертикальной полосой соотв. цвета) как-то не сильно торопится расти.

В положительной геометрической прогрессии любой член равен среднему геометрическому соседних.
Закону геометрической прогрессии подчиняются, например, суммы вклада при фиксированной процентной ставке.