задача по теории вероятностей

Похоже P=(N-1)/N

Докажем методом математической индукции:
Для N=2:
Вероятность того, что старушка сядет на своё место - 1/N=1/2
В противном случае - второй (он же последний) садится не на своё
Итого = Вероятность =1/2
Для N=3:
Вероятность того, что старушка сядет на своё место - 1/N=1/3 в этом случае все сядут на свои места
В противном случае - с вероятностью 1/N=1/3 сядет на место последнего - то есть по любому последний сядет не на своё место
с вероятностью 1/N=1/3 на место второго. В этом случае второй сядет на место старушки с вероятностью 1/2.
Откуда имеем полную вероятность: 1/3*1+ 1/3*0+1/3*1/2=3/6=1/2
Для N=4:
Старушка села на своё место: 1/N=1/4
Старушка села не на своё место и при этом это место не последнего: (N-2)/N = 2/4 = 1/2
В этом случае рассмотрим того пассажира, чьё место старушка заняла. Это может быть любой (равновероятно) из N-2 человек в очереди. До него все сядут на свои места. А далее человек, который своё место (k) потерял остаётся в роли старушки - то есть для него "его новое место" - это место старушки. То есть свели задачу к меньшему N: то есть
Искомая вероятность P(N) = 1/N *1 + (N-2)/N * (SUM(k=2, N-1)*P(N-k+1)*1/(N-2)). Упрощая имеем: P(N)=1/N(1+SUM(k=2, N-1){P(N-k+1)}
Теперь, предполагая предположение индукции, что все P(k)=1/2 для всех k, меньших N, получаем P(N)=1/N(1+(N-2)*1/2)=1/N*N/2=1/2
То есть, т.к. для 2,3 мы показали, что P(2)=P(3)=1/2 и доказали шаг индукции, то значит для всех N P(N)=1/2
Что и требовалось доказать