Найдите наименьший положительный период функции у = sin3x + cos7x

У sin 3x период 2pi/3, у cos 7x период 2pi/7. Период данной функции равен сумме
2pi/3 + 2pi/7 = (14pi + 6pi)/21 = 20pi/21

Решение:
у = sin3x + cos7x.                                             (1)
Основной период T₀ функций у = sinx и у = cosx равен T₀ = 2π. Коэффициент k₁ при х функции у₁ = sin3x равен k₁ = 3, а коэффициент k₂ при х функции у₂ = cos7x равен k₂ = 7.
Функция у₁ = sin3x имеет период
T₁ = (T₀/k₁)n = (2π/3)n,                                     (2)
а функция у₂ = cos7x имеет период
T₂ = (T₀/k₂)k = (2π/7)k,                                     (3)
где n,k є Z, n ≠ 0, k ≠ 0.
Тогда искомая функция (1) будет периодическая, если существуют такие n,k, при которых выполняется равенство:
T₁ = T₂ .                                                             (4)
С учётом (2) и (3), равенство (4) примет вид:
(2π/3)n = (2π/7)k,  или  n/3 = k/7.
Отсюда получаем уравнение в целых числах k,n:
3k = 7n.                                                             (5)
Из (5) имеем k = 7n/3 = 2n + n/3, т.е.
k = 2n + n/3.                                                     (6)
Из (6) следует, что k будет целым при n кратном трём:
n = 3m,          (m є Z).
Тогда
k = 7n/3 = (7·3m)/3 = 7m.
Тогда, с учётом (2) и (3), периоды T₁ и T₂ примут вид
T₁ = (2π/3)3m = 2πm,
T₂ = (2π/7)7m = 2πm.
Тогда период T функции (1)
T = T₁ = T₂ = 2πm.
Следовательно, наименьшим положительным периодом (при m = 1) будет число
T = 2π.
Ответ: 2π.