можно ли оставить просроченный загранпаспорт?

Оставить на память,можно.

конечно можно - и даже рекомендуется!!!
Например, раньше вы выезжали в Азию, Европу... И вот, во время действия нового загранпаспорта вам опять надо получать шенген, а паспорт-то чистый, без предистории. Вас опять будут проверять и проч.. и не факт, что визу дадут вовремя или вообще дадут. А если вы приложите к новому паспорту старый (старые), в которых уже есть отметки о посещении стран шенгена, то выдача нового шенгена посольствами пройдёт гораздо быстрее, поскольку не надо вновь инициировать вашу проверку на легитимность - по старым отметкам в старом паспорте "там" поднимут соответствующие "дела" и...
Короче, всё "старое" пригодится, это такой негласный закон во всех турагентствах, особе не говорят, чтобы "бюрократию" не разводить, но старая бумажка срабатывает порой гораздо эффективнее на тех же бюрократов...

Пересмотрел все законодательство РФ по загранпаспортам, нигде не написано что оставлять просроченный загранпаспорт у себя нельзя, и ответственности за это нету.