как отреставрировать старый линолеум

Не думаю что это возможно , вы бы фото выложили линолеума.

не как. заменить. заляпать еще больше и более разноцветно и обяснить гостям что это такои авангардистский дизаин.

отодрать, постирать и прибить гвоздями обратно.

средством для снятия старой краски, но прежде пробы произвести на незаметном месте, дабы удостовериться, что линолеум не пострадает от данного  раствора после обработки.

От старой краски тяжелее конечно отмыть линолеум. Вообще пятна краски удаляют ацетоном, бензином или керосином. Наносить эти вещества необходимо только на загрязнение и только в резиновых перчатках.
Если кусок линолеума испорчен безвозвратно, то необходимо сделать заплатку:
Прежде всего, нужно вырезать кусок нового покрытия. Для этого на поврежденный участок укладывают часть листа линолеума и, если это требуется, совмещают по рисунку. Затем по границе, проходящей в 2-3 см поврежденного участка, прикладывают металлическую линейку и острым сапожным ножом или специальным резаком для напольных покрытий прорезают в один прием слоя покрытия – и повреждённый линолеум, и новую заплату. Произведя вырезку дефектной пластины линолеума и новой заплаты, поврежденный кусок вынимают из линолеумного полотна.

Смыть краску можно растворителем, но нет смысла, бо под краской линолиум свежий а все остальное выцвело.