как решить интеграл sqrt(x^2-1)dx с помощью метода подстановки

Ответы:

int(sqrt(x^2-1))dx решается стандартной заменой через гиперболический косинус x=ch(u)
x=ch(u)=e^(u)/2+e^(-u)/2
dx=(e^(u)/2-e^(-u)/2)du
sqrt(x^2-1)=sqrt((e^(u)/2+e^(-u)/2)^2-1)=
=sqrt(e^(2u)/4+1/2+ e^(-2u)/4-1)=
=sqrt(e^(2u)/4-1/2+ e^(-2u)/4)=
=sqrt(e^(u)/4-e^(-u))^2/4)=
=e^(u)/2-e^(-u)/2
выведем u
x=e^(u)/2+e^(-u)/2
x+sqrt(x^2-1)=e^(u)/2+e^(-u)/2+e^(u)/2-e^(-u)/2
x+sqrt(x^2-1)=2e^(u)/2
x+sqrt(x^2-1)=e^(u)
ln(x+sqrt(x^2-1))=u
Теперь интегрируем
int(sqrt(x^2-1))dx=
=int(e^(u)/2-e^(-u)/2)(e^(u)/2-e^(-u)/2)du=
=int(e^(u)/2-e^(-u)/2)^2 du=
=int(e^(2u)/4-1/2+e^(-2u)/4 du=
=e^(2u)/8-1/2u-e^(-2u)/8 + C=
=e^(2u)/8-e^(-2u)/8-1/2u + C=
=1/2(e^(u)/2+e^(-u)/2)(e^(u)/2-e^(-u)/2)-u) + C=
=1/2(x*sqrt(x^2-1)-ln(x+sqrt(x^2-1))) + C

13 лет назад

RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.