Меня отчислили из ВУЗа за неуспеваемость. Можно ли восстановиться зимой или поступить на 1ый курс на БЮДЖЕТ в след году?

Если не уйдёшь в армию, то допускается.

можно, но с общим потоком

На бюджет не попадешь 100%.

Если первая сессия закрыта (все сдано), то может и можно восстановиться. Если нет (неуспеваемость) - тогда вряд ли. А на 1-й курс на бюджет вы имеете полное право пройти, как и другие абитуриенты, разумеется, если пройдете по конкурсу.
Но точнее, чем в вашем вузе, никто не скажет.

ч.4 ст.16 Федерального закона от 22.08.1996 N 125-ФЗ "О высшем и послевузовском профессиональном образовании":
"Студент имеет право на восстановление в высшем учебном заведении в течение пяти лет после отчисления из него по собственному желанию или по уважительной причине с сохранением той основы обучения (бесплатной или платной), в соответствии с которой он обучался до отчисления.
Порядок и условия восстановления в высшем учебном заведении студента, отчисленного по неуважительной причине, определяются уставом высшего учебного заведения."
Таким образом, Вы можете восстановиться и защитить дипломную работу. Так как Вас отчисли по неуважительной причине, то посмотрите что по этому поводу написано в уставе Вашего ВУЗа. А лучше дайте ссылку на Устав или напишите полное название ВУЗа.