Покажу, как это делается на 1) примере, остальные точно также.
Основная цель - избавиться от слагаемого, содержащего произведение xy.
7x^2 + 10xy + 7y^2 + 4*sqrt(2)x + 20*sqrt(2)y + 32 = 0
Поворачиваем систему координат на а радиан вокруг точки О(0, 0). Новые переменные
x = x'*cos a - y'*sin a
y = x'*sin a + y'*cos a
Подставляем
7(x'*cos a - y'*sin a)^2 + 10(x'*cos a - y'*sin a)(x'*sin a + y'*cos a) + 7(x'*sin a + y'*cos a)^2 +
+ 4*sqrt(2)*(x'*cos a - y'*sin a) + 20*sqrt(2)*(x'*sin a + y'*cos a) + 32 = 0
Раскрываем квадраты и произведения скобок
7*(x'^2*cos^2 a - 2x'y'*cos a*sin a + y'^2*sin^2 a) + 10*(x'^2*cos a*sin a - x'y'*sin^2 a + x'y'*cos^2 a -
- y'^2*cos a*sin a) + 7*(x'^2*sin^2 a + 2x'y'*cos a*sin a + y'^2*cos^2 a) + 4*sqrt(2)*x'*cos a -
- 4*sqrt(2)*y'*sin a + 20*sqrt(2)*x'*sin a + 20*sqrt(2)*y'*cos a + 32 = 0
Окончательно раскрываем скобки
7x'^2*cos^2 a + 7x'^2*sin^2 a - 14x'y'*cos a*sin a + 14x'y'*cos a*sin a + 7y'^2*sin^2 a + 7y'^2*cos^2 a +
+ 10x'^2*cos a*sin a + 10x'y'*cos^2 a - 10x'y'*sin^2 a - 10y'^2*cos a*sin a + 4*sqrt(2)*x'*cos a -
- 4*sqrt(2)*y'*sin a + 20*sqrt(2)*x'*sin a + 20*sqrt(2)*y'*cos a + 32 = 0
Упрощаем
7x'^2 + 7y'^2 + 5x'^2*sin 2a +10x'y'*cos 2a - 5y'^2*sin 2a + 4*sqrt(2)*x'*cos a - 4*sqrt(2)*y'*sin a +
+ 20*sqrt(2)*x'*sin a + 20*sqrt(2)*y'*cos a + 32 = 0
Нам надо избавиться от слагаемого 10x'y'*cos 2a, поэтому выбираем такое а, что
cos 2a = 0
sin 2a = 1 (или sin 2a = -1)
2a = pi/2 (или 3pi/2)
a = pi/4 (или 3pi/4)
Это поворот вокруг точки О на угол а = pi/4 = 45 градусов по или против часовой стрелки.
Пусть будет ПО часовой, тогда sin 2a = 1, a = pi/4, sin a = cos a = 1/sqrt(2)
7x'^2 + 7y'^2 + 5x'^2*1 +10x'y'*0 - 5y'^2*1 + 4*sqrt(2)*x'/sqrt(2) - 4*sqrt(2)*y'/sqrt(2) +
+ 20*sqrt(2)*x'/sqrt(2) + 20*sqrt(2)*y'/sqrt(2) + 32 = 0
12x'^2 + 2y'^2 + 24x' + 16y' + 32 = 0
12(x'^2 + 2x' + 1) - 12 + 2(y'^2 + 8y' + 16) - 32 + 32 = 0
В скобках квадраты сумм, за скобками я вычел свободные члены, для компенсации.
12(x' + 1)^2 + 2(y' + 4)^2 - 12 = 0
12(x' + 1)^2 + 2(y' + 4)^2 = 12
(x' + 1)^2 / 1 + (y' + 4)^2 / 6 = 1
Делаем сдвиг начала координат на 1 влево и на 4 вниз: O'(-1, -4)
x'' = x' + 1
y'' = y' + 4
Получаем
x''^2 / 1 + y''^2 / 6 = 1
Это уравнение эллипса с центром O'(-1, -4) и полуосями a = 1, b = sqrt(6)
Эллипс повернут на 45 градусов по часовой стрелке относительно осей (Ox, Oy).