Если конус проходит через прямые у = +-х;z = 0 и точку (1;2;3) и осью симметрии является Оz,

Так как конус пересекает плоскость z=0, то прямая Oz не может быть осью конуса.
Поэтому, в данном случае, видимо, имеется в виду двухсторонний конус. У такого конуса осью симметрии будет не только ось конуса, но и любая прямая, проходящая через вершину конуса, перпендикулярно оси конуса.
Так как конус пересекает плоскость z=0 по двум прямым, то вершина конуса находится в этой плоскости. Кроме того, она лежит на оси симметрии Oz, поэтому вершиной конуса является начало координат.
Ось конуса лежит в плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно оси Oz, то есть в плоскости z=0. Тогда сечение конуса плоскостью z=0 является осевым. Поэтому ось является биссектрисой угла, образованного прямыми y=±x в этой плоскости. Таких биссектрис две — это оси Ox и Oy.
В первом случае, уравнение конуса y²/a² + z²/b² = x², во втором — x²/a² + z²/b² = y²
Подставляя z=0 мы получаем
в первом случае y²/a² = x², во втором — x²/a² = y²
Так как должно получиться y=±x ⇔ x²=y², то отсюда можно сделать вывод, что в обоих случаях a=1
Тогда уравнение конуса
в первом случае z²/b² = x²-y², во втором z²/b² = y²-x²
Подставляя координаты точки (1;2;3) устанавливаем, что первый случай невозможен, а возможен, только второй
9/b² = 4-1 = 3 ⇒ b²=9/3 = 3
Тогда уравнение конуса x² + z²/3 = y², или z² = 3(y²-x²)