найти производную ОИ заданной неявно - есть ответ

Без имени, 68 просмотров

Найти производную y'(x) функции, заданной неявно уравнением ОИ[a,y]{(e^t) dt} + ОИ[0,x]{(cost) dt} = 0 и вычислите её при х=0. пожалуйста распишите по подробнее, буду очень признателен!

ОИ[] - это определённый интеграл в приделах от и до.

Ответы:

mpiz

Правило Лейбница, пусть:
S(x) = int{ a(x), b(x)} f(x,t)dt, тогда:
S'(x) = int{ a(x), b(x)} df/dx dt + b'(x)*f(x,b(x)) - a'(x)*f(x,a(x))
В данном случае нижние пределы и под интегральные функции не зависят от параметра, поэтому получаем упроженную формулу:
S(x) = int{a,b(x)) f(t)dt
S'(x) = b'(x)*f(b(x)).
Используя это и правило производной сложной функции получим:
y'(x)*e^(y(x)) + cos(x) = 0
y'(x) = -cos(x) * e^(-y(x))
y'(0) = -e^(-y(0))
Теперь надо найти y(0).
Подставим 0 в исходное уравнение, тогда int{0,0} cos(t)dt = 0 и получим:
int {a,y(0)} e^t dt = 0
В силу того, кто e^t > 0 при любом действительном t, то по свойствам интегралов (интеграл от положительной функции есть положительное число) получаем, что y(0) = a.
Значит y'(0) = -e^(-a)

12 лет назад

RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.