Существует ли проблема отношений между учителями и школьниками в частных школах?

Конечно, и учитель и школьник это люди, а между 2-я людьми всегда существует непонимание из-за особенностей нашего восприятия, но как и в других социальных сообществах, данное сообщество ориентируясь на гласные и негласные законы/правила находят общий язык. Хотя многое зависит от конкретных характеров участвующих во взаимодействии.

Конечно существуют. Проблемы это вообще не плохо, противоречия толкают к развитию и тех, и других. К большему пониманию мира что ли. Другой вопрос: какие проблемы? И ответ на него зависит от стиля отношений, который культивируется в школе. А частные школы очень разные. Есть те, которые пытаются воспроизвести советскую школу - это один стиль отношений, есть те, которые позиционируют себя, как элитные, где учится элита - это совсем другое; есть школы поточные, где не очень приняты всякие "сюси-пуси" :), как они сами говорят, а есть те, где в моде личностный подход к ученику, вплоть до отдельной программы и отдельных заданий. Если школа стремится кроме обычных уроков заниматься какой-то деятельностью интересной ученикам (то есть там нет отношений типа "из под палки"), то обычно отношения там более человеческие и приятельские, часто дружеские и товарищеские.
Короче, надо ориентироваться не по "табличке" (частная школа или нет), а смотреть какие люди в этой школе, и какие отношения культивируют. Все решают люди, а не ярлычки. ;)