Закономерность 1,8,9...

zZoMROT, 321 просмотр

Для последовательности отображений f_1, f_2, f_3, ... :
f_i: M_i -> M_(i+1), где M_i⊂ℕ ∀i∈ℕ
f_i(x)=f_(i+1)(n1+n2+...+nm) ∀i∈ℕ, где ni - цифра i-ого разряда в числе x^3, m - число разрядов в числе x^3.

Можете доказать, что ∀x∈ℕ ∃k∈ℕ: ∀k'>k f_k(x)=f_k'(x)=A, где A∈{1,8,9}, причем для
x: 3|x A=9
x: 3|x+1 A=1
x: 3|x+2 A=8

■■■ Человеческим языком: требуется доказать, что если брать натуральные числа подряд с 1, возводить их в куб и складывать цифры получившегося числа, затем складывать цифры числа, которое получилось из предыдущего сложения и т.д. до тех пор, пока у нас не получится однозначное число, то последовательность таких однозначных чисел будет иметь вид: 1,8,9,1,8,9,1,8....

Примечание:
>> sanscrite
9^3 - 8^3 - 1^3 = 6^3 = 6*6*6 <-- вот это хрень (:

Примечание:
>> AntiPetya
складываются цифры чисел, что и уменьшает число
Пример: 931991 -> 9+3+1+9+9+1 = 32

Примечание:
>> для любого натурального числа рекурсивная последовательность сумм цифр сходится к остатку от деления на 9 исходного числа

вот это-то как раз и непонятно...почему? можете привести доказательство этих слов?

Ответы:

Без имени

Получившееся в итоге однозначное число равно остатку от деления на 9 куба исходного числа (только вместо нуля девятка).

AntiPetya

"цифры получившегося числа, затем складывать цифры числа, которое получилось из предыдущего сложения и т.д. до тех пор, пока у нас не получится однозначное число"

Vindicar

Как правильно сказал Малёк, суммацифр будет равняться остатку от деления на 9.
Если число i делится на 3 нацело, то его куб точно делится на 9. Таким образом, каждый элемент последовательности с номером, кратным трём, будет цифрой 0 или 9, но так как ноль при сложении натуральных чисел получиться не может, то он будет 9.

Иван Козначеев

(3k)^3 = 27 k^3
(3k+1)^3 = 27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 = 9 (3k^3 + 3k^2 + k) + 1
(3k+2)^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 = 9 (3k^3 + 6k^2 + 4k) + 8
и используем теорему, что для любого натурального числа рекурсивная последовательность сумм цифр сходится к остатку от деления на 9 исходного числа, а если исходное число делится на 9, то к 9
доказательство теоремы базируется на двух просто доказываемых утверждениях:
1. сумма цифр натурального числа, большего 9, меньше самого этого числа.
2. разность числа и суммы его цифр кратна 9.

iruslan

математика царица наук))

Никита Гладков

Операция складывания цифр числа до получения однозначного числа это выяснение остатка при делении на 9, только 0 = 9.
Долгожданное доказательство!
1 Возьмём любое число, к примеру 4567
2 Разложим его по разрядам 4567 = 4000 + 500 + 60 + 7
3 Преобразуем 4000 + 500 + 60 + 7 = 4(999+1) + 5(99+1) + 6(9+1) +7 = 4 + 5 + 6 + 7 + 4*999 + 5*99 6*9 = 4 + 5 + 6 + 7 + 9(4*111 + 5*11 + 6*1)
4 Из преобразования видно, что остаток от деления на 9 одинаков и у преобразованного числа такой же, как и у исходного
5 Путем таких же преобразований можно привести любое число до однозначного, так, как при каждом шаге число уменьшается

15 лет назад

RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.