>>
http://otvety.google.ru/otvety/thread?tid=70d67cecca5d65d8&fid=70d67cecca5d65d80004712c7d9e220b&table=%2Fotvety%2Fuser%3Fsort%3Dwsmopts%26order%3Dwsnod%26start%3D0%26userid%3D14134584682817051112%26tab%3Dwtmtor
>> [ x^5 + Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + K = 0 ] -> [ y^5 + My + M = 0 ]
>> К тому же это заведомо неверно. Дело в том, что любые равносильные преобразования и замены сохраняют число корней, у x^5+ax+a их не более трех, а у других полиномов пятой степени бывает и пять.
Задача:
док-ть, что
∀x, A, B, C, D, K ∈ P : x^5 + Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + K = 0 ∃y(x) ∃M∈ P : y^5 + My + M = 0
Почему Вы решили, что y линейно зависит от x?
И не могли бы Вы показать почему это у полинома x^5+ax+a не более 3ёх корней ? о_0
Примечание:
Мн-н a(x), deg(a(x))=n>0 - имеет не более n различныйх корней.
**********
Док-во:
Пусть r1,r2,...,rk - различные корни a(x) => т.к. элемент c корень a(x) <=> (x-c) | a(x),
то (x-ri)|a(x) ∀i∈1.k
(x-ri,x-rj)=e ∀i,j∈1.k => (x-r1)*...*(x-rk) | a(x)
deg( (x-r1)*...*(x-rk) )=k
Т.к. a(x)<>0, то k<=n
**********
>> у y^5 + My + M = 0 не более трех, так как у его производной не более двух
(поэтому у него не более трех отрезков монотонности).
- Это не совсем понятно... не прокомментируете?
(y^5 + My + M)' = 5y^4 + M <-- разве не так? - 4 корня = 4 "перегиба" => 5 отрезков монотонности => не более 5 корней
А так как в действительных числах может иметь 5 корней, то в комплексном поле - подавно.
...и не надо пугать меня теорией Галуа, ничего страшного в ней нету ;)
Условие у задачи корректно и доказательство имеет место быть. Зуб даю ! ))
Допускаю, что возможно Вы просто слегка перепутали, потому что я писал аналог для кубического уравнения.... Там кубическое преобразовывается в кубическое, а тут ур-ние 5 степени в ур-ние 5 степени ;)
Примечание:
Сраный Вио!! Набрал доказательство, а он меня выкинул на "Запрашиваемый URL не найден на данном сервере."
Примечание:
У нас есть уравнение x^5 + Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + K = 0
1) Сделаем замену x = x' + t :
( (x' )^5 + 5t(x' )^4 + 10(t^2)(x' )^3 + 10(t^3)(x' )^2 + 5(t^4)(x' ) + t^5 )+
+A( (x' )^4 + 4t(x' )^3 + 6(t^2)(x' )^2 + 4(t^3)(x' ) + t^4 )
+B( (x' )^3 + 3t(x' )^2 + 3(t^2)(x' ) + t^3 ) + C( (x' )^2 +2t(x' ) + t^2 ) + D( x' + t ) + K = 0
Рассмотрим при каких t коэффициент при (x' )^4 будет равен 0:
5t + A = 0 <=> t = - A/5 => при замене x = x' - A/5 мы "избавимся" от 4 степени
2) Применим к полученному в п.1 уравнению преобразование Чирнгауза
[
http://www.pmpu.ru/vf4/dets/resultant //Crtl+F: Преобразование Чирнгауза, метод постоения матрицы см. там же Результант в форме Сильвестра ]:
введем переменную y = x^2 + ax + b и методом неопределенных коэффициентов найдём такие a и b, чтобы в результате коэффициенты при x^3 и x^4 стали равны 0.
Точнее, если переобозначить для удобства в полученном в п.1 уравнении x' -> x, а выражения, являющиеся коэффициентами, буквами, то для уравнения x^5 + (j3)x^3 + (j2)x^2 + (j1)x + (j0) = 0 параметры a и b получатся:
b = 2(j3) / 5
a = [ sqrt(5)*sqrt(12(j3)^3 - 40(j3)(j1) + 45(j2)^2) - 15(j2) ] / 10(j3)
Т.о. мы "избавляемся" от 3 и 4 степеней и получаем уравнение, имеющее 5, 2, 1 и 0 степени.
3) Затем делаем аналогично п.2 подстановку y = x^4 + (i3)x^3 + (i2)x^2 + (i1)x + (i0) и исключаем член 2 степени, в процессе чего не потребуется решение уравнений степени выше 3.
Очевидно, что общий вид достаточно громоздский, но его достаточно легко вычислить в том же Maple......
4) Получив уравнение вида x^5 + px + q = 0, делаем замену x = yu:
(yu)^5 + p(yu) + q = 0 |x 1/u^5
y^5 + py/u^4 + q/u^5 = 0
p/u^4 = q/u^5 <=> u = q/p => при замене x=qy/p получаем y^5 + My + M = 0, при M=p^5/q^4
Примечание:
Я Вас не понимаю *scratch*
Преобразование Чирнгауза взаимно-однозначно:
Если мы знаем введенную переменную и результат преобразования, то мы можем получить исходный многочлен единственным образом, обозначив в матрице соответствующие места переменными, а затем методом неопределенных интегралов.
например (зная замену и получившееся уравнение),
|a,b,c,..,0,0,...|
|0,a,b,..,0,0,...|
|....................| = 6y^2 + 12y - 9
|0,....,+1,-2,2y|
|0..,+1,-2,2y,0|
↑ отсюда находим определитель и методом неопр.коэф. находим a,b,c,... - что дает нам составить предыдущее уравнение.
Т.е. по предложенному алгоритму в Дополнение #3 мы можем спокойно привести как
[ x^5 + Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + K = 0 ] -> [ y^5 + My + M = 0 ] , так и
[ y^5 + My + M = 0 ] -> [ x^5 + Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + K = 0 ], зная проделанные замены,
а количество корней тут никаких противоречий не дает, так как если в действительных числах уравнение общего вида приводится к сокращенному (см. Доп3 п.2, п.3, там извлечение кв корня) в зависимости от коэффициентов, то учитывая сделанные замены, не смотря на то что в сокращенном виде не более 3 корней, обратные замены дадут нам все нужные корни изначального уравнения, даже если их 5, потому что в ходе преобразований мы используем как минимум (в п.2) квадратичную замену, что каждый из корней сокращенного уравнения (которых не более 3) при обратной замене заменится не более чем 2 корнями...
Но рассмотрев на Maple видно, что уравнение 4 степени, являющееся заменой с (ik), k∈0.3 (Доп3 п.3), зависимыми от полученной неизвестной независимо от свободного члена (y) этой неизвестной. Значит в нем есть точно не более 3 решений. Далее все лишние корни отсеиваются в квадратном уравнении, которое нам "выдает" вместо каждого корня предыдущего уравнения не более 2 корней, что покрывает возможность вернуть 5 корней.
__________
У меня тоже ФФ3.5, но при нажатии кнопки "назад" меня почему-то выкинуло просто на мой вопрос, после чего я еще раз нервно ткнул "вперед" и "назад" несколько раз :-)
ВО! Сейчас было тоже самое, только я догадался скопировать )) но на удивление, в отличии от предыдущего раза, нажав "добавить дополнение" текст тут уже присутствовал о_0
Примечание:
Аххах)) так мы просто не поняли друг друга изначально... я не говорил, что надо привести уравнение общего вида к требуемому именно заменами...
Примечание:
>> любой многочлен степени n приводится Чирнгаузом y=0 к виду y^n
В преобразовании Чирнгауза обязательное условие, чтобы коэффициент при старшем одночлене не был равен нулю ;)
y(x) - это y, зависящий от x
а по поводу корректности, пожалуй, Вы правы, надо слегка подредактировать задачку :-)
Благодарю за критику. Было очень интересно с Вами разбирать данный вопрос.