Падре, к вашей первой задаче дан неверный ответ:
http://otvety.google.ru/otvety/thread?tid=42c3e18b2ea480a3
"Общество состоит из 5 мужчин и 10 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на пять групп по три человека в каждой группе будет мужчина."
Вероятность будет равна частному от деления числа возможных группировок с нужным исходом на общее число всевозможных исходов случайных группировок. Найдем два этих числа одно за другим, сначала второе, затем первое:
1. Общее число всевозможных исходов найдем так: сформируем первую группу из трех человек случайным образом, не обращая внимания на пол. Первую группу можно набрать числом сочетаний из 15-и человек по 3-м. Далее, формируем вторую группу. После набора первой группы можно выбирать уже только из 12-и человек, число возможных наборов выйдет С из 12 по 3. Третью группу и последующие - аналогично. Теперь, общее число всевозможных наборов получим перемножением числосочетаний, потому что набор во все группы ведется независимо. Если группы не пронумерованы (порядок групп не важен), тогда произведение делим на число групп, то есть, на 5. Результат равен С(15,3)*С(12,3)*С(9,3)*С(6,3)*С(3,3)/5
2. Группировка таким образом, чтобы в каждой группе было по одному мужчине, имеет чуть более сложную логику в плане "формулизации". Как найти число всех возможных таких групп, с одним мужчиной? Вначале меняем женщин в этих группах местами, независимо от мужчин: в каждой группе у нас по две женщины, всего женщин 10, значит, в первую группу женщин можно можно набрать С(10,2) способами, во вторую - С(8,2), в третью - аналогично, итд. Общее число перестановок, если группы пронумерованы - это произведение числосочетаний: C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2). Однако, мужчин мы тоже вольны менять местами, поэтому данное произведение нужно домножить на 5! (домножаем, так как мужчины меняются между группами независимо от женщин; это число находим по формуле числа всевозможных перестановок, потому что, с точки зрения мужчины, группы с уже зафиксированными наборами женщин различны, то есть, пронумерованы). Так как образованные группы, опять же, не пронумерованы, необходимо разделить полученное число на 5. Промежуточный результат C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)*5!/5
3. Собственно расчет: C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)*5!/5/(С(15,3)*С(12,3)*С(9,3)*С(6,3)*С(3,3)/5) = 5!*C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)/(С(15,3)*С(12,3)*С(9,3)*С(6,3)) = 125*45*28*15*6/(455*220*84*20)=675/8008
--
Вы можете убедиться в правильности решения, проверив его алгоритм на аналогичной задаче, но с облегченным условием:
"Общество состоит из 2 мужчин и 4 женщин. Найти вероятность того, что при случайной группировке их на две группы по три человека в каждой группе будет мужчина."
Алгоритм, приведенный выше, дает:
C(4,2)/C(2,2)*2!/2/(С(6,3)*C(3,3)/2) = 2!*C(4,2)/(С(6,3) = 2*6/20 = 6/10
Пусть цифрами 1 и 2 обозначены мужчины, остальными - женщины. Всех возможных группировок всего 10:
[{1,2,3}, {4,5,6}] [{1,2,4}, {3,5,6}] [{1,2,5}, {3,4,6}] [{1,2,6}, {3,4,5}] [{1,3,4}, {2,5,6}]
[{1,3,5}, {2,4,6}] [{1,3,6}, {2,4,5}] [{1,4,5}, {2,3,6}] [{1,4,6}, {2,3,5}] [{1,5,6}, {2,3,4}]
Из них только шесть содержат по одному мужчине в каждой группе:
[{1,3,4}, {2,5,6}] [{1,3,5}, {2,4,6}] [{1,3,6}, {2,4,5}] [{1,4,5}, {2,3,6}] [{1,4,6}, {2,3,5}] [{1,5,6}, {2,3,4}]
Соответственно, вероятность встретить такие группы равна 6/10.
*для расчета числа сочетаний достаточно больших чисел удобно использовать онлайн-сервисы:
http://kontrolnaya-rabota.ru/s/teoriya-veroyatnosti/chislo-sochetanij/
Успехов в дальнейшем обучении!
Примечание:
andrej_
Да, верно, сокращаем произведения на 5!, а не на 5, потому что возможны повторения с перестановками из 5 групп. Впрочем, результат это не меняет из-за аннигиляции с аналогичным членом в знаменателе.
Не понял, какую смысловую нагрузку несло С(5,5).
Спасибо.
Примечание:
Ужожор
Спасибо, вы предоставили более лаконичное решение, возможно, хотя мое - тоже верное. Я нашел ошибку в своих расчетах: посчитал 5! как 125 (а правильно 120, конечно), и как следствие получил неверный ответ. Можно было не рассчитывать все числосочетания, как поступил я, а просто аннигилировать факториалы числителя и знаменателя:
[5!*C(10,2)*C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/5!]/[С(15,3)*С(12,3)*С(9,3)*С(6,3)*С(3,3)/5!] =
= [5!*{10!/(2!*8!)}*{8!/(2!*6!)}*...]/[{15!/(3!*12!)}*{12!/(3!*9!)}*...] = [5!*{10*9/2)*(8*7/2)*...]/[(15*14/6)*(13*12/6)*...] =
= [5!*10!/2^5]/[15!/(2^5*3^5)] = 3^5*5!*10!/15! и вот она ваша формула.
---
В чем заключается отличие наших решений: я вначале разбил 15 человек на группы, а затем стал тасовать мужчин и женщин между ними; вы же перетасовали 15 и 10+5 человек всеми возможными способами, а затем провели между ними границы групп. Я просто зашел с другого конца.
Не соглашусь с тем, что мое решение более громоздкое, просто я подробно расписал весь алгоритм, прокомментировал вслух каждую формулу и каждое число, чтобы "быстрее дошло", ваши же "стандартные" комментарии и подход "с налета", например, дали мне пищу для продолжительных размышлений о том, почему так и как к этому можно было прийти. Но наверное, решать можно кому как больше нравится или кто как научен. Еще раз, благодарю!