Помогите пожалуйста доказать сходимость последовательности.

AC-130U Spectre, 322 просмотра

Итак, лето кончилось, начались занятия в вузе, и теперь я как тупой школьник прошу решить домашнее задание на ВиО...
Итак, последовательность. x(n)=(1+1/2)*(1+1/4)*(1+1/8)*...*(1+1/(2^n)). Необходимо доказать сходимость (лимит искать не обязательно). То, что последовательность неубывающая, я уже показал. Вот как показать, что она ограничена сверху, не знаю. Подскажите пожалуйста хотя бы ход решения, откуда мне начинать.

Пробовал биномиальное разложение (1+1/2)^n, ничего полезного не увидел.

Примечание:
Там 1+1/(2^n). И не сумма, а произведение. Да и не проходили мы признак Коши.

Примечание:
Через эквивалентны доказали.

Ответы:

mpiz

Последовательность представляет собой числовой ряд.
Признак Коши для сходимости числового ряда:
Если lim [n>-беск.] (a[n])^(1/n) < 1, то последовательность сходится.
a[n] = 1/2^n
lim [n->беск.] = (1/2^n)^(1/n) = 1/2 < 1 - последовательность сходится.

13 лет назад

RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.