Можно ли возводить число в степень, имеющую размерность?

Нельзя. По определению нельзя, сами посмотрите.

нет, если под экспонентой оказалась размерность, значит что-то где-то потеряли

Возводить можно.
Тому есть масса примеров:
зависимость давления от высоты: если представить, что мы тупо с барометром на воздушном шаре эмпирическим путем определили, что ч-з каждые 15000м давление падает в 10 раз, то Р=Ро*10^(-h/15000)
закон излучения Планка
и др.
Там в показателях степени некая константа умножается или делится на физическую величину.
Но, если точно определить природу константы, то она тоже будет иметь размерность, которая приведет к сокращению всех единиц измерения.
В общем выстраивая эмпирические зависимости на основе экспериментальных данных мы можем получить степени с размерностями, но это будет результат незавершенной работы, которым (результатом) тем не менее можно пользоваться.
В уравнениях, полученных аналитическим путем, степень должна быть безразмерной всегда.