Формулы которые на отсканированной странице относятся к методу наименьших квадратов - то есть квадратичная разница между предполагаемой функцией и эмпирическими данными должна стремится к минимуму.
Популярно, метод нахождения коэффициентов делается так - возводишь разницу между предполагаемой функцией и эмпирическими данными в квадрат и с помощью производной находишь, когда квадрат разницы стремится к нулю, то есть к минимуму (из за квадрата).
Метод Наименьших Квадратов (МНК) - это самый простой метод аппроксимации, а все другие методы более сложные.
Интересный факт: Линеаризация степенной функции методом lny=lna+b*lnx приведет при использовании МНК к другому результату (к другим значениям коэффициентов), чем использование оригинальной функции y=a*x^b.
Если использовать метод МНК для y=a+b*x^c, то получим, что нужно минимизировать выражение
sum((a+b*xi^c-yi)^2)
Для того, чтобы минимизировать это выражение возьмем частные производные от этого выражения по a,b и c
частная производная суммы равна сумме частных производных слагаемых
частная производная (f^2) равна 2*f*f'
тогда частная производная суммы по a равна
sum(2*(a+b*xi^c-yi))
частная производная суммы по b равна
sum(2*(a+b*xi^c-yi)*xi^c)
частная производная суммы по c равна
sum(2*(a+b*xi^c-yi)*xi^c*ln(xi))
приравнивая три частных производных к нулю, получаем уравнения
a*n+b*sum(xi^c)-sum(yi)=0
a*sum(xi^c)+b*sum(xi^(2c))-sum(yi*xi^c)=0
a*sum(xi^c*ln(xi)) + b*sum(xi^(2c)*ln(xi))-sum(yi*xi^c*ln(xi))=0
Как видно, эта система является линейной относительно a,b, но нелинейной относительно c.
Что могу предложить. Решить первые два уравнения относительно a,b.
Подставить в третье уравнение, тогда получится одно уравнение относительно c. Это уравнение будет нелинейным. Решать можно методом половинного деления или любым другим, который сможешь запрограммировать на PHP.
Надеюсь, помог.