найти сечение падения частиц в центр поля U(r)=-(a/r)-(b/r^2)

Поподробнее

видимо нужно найти площадь поперечного сечения той части летящего из бесконечности однородного пучка частиц, которая упадёт на центр.
рассмотрим частицу, которая летит из бесконечности по прямой, находящейся на расстоянии r1 от центра
тогда её момент импульса относительно центра равен m v r1, где v -- скорость на бесконечности
пусть эта частица не падает на центр и в момент максимального приближения к центру расстояние до центра равно r, а скорость равна u. Тогда по закону сохранения момента импульса (в силу центрального характера поля) m v r1 = m u r. По закону сохранения энергии m v^2 / 2 = m u^2 / 2 - a/r - b/r^2
выражая u из первого уравнения и подставляя во второе, получим
m v^2 / 2 = m v^2 r1^2 / (2 r^2) - a/r - b/r^2
домножим на 2 r^2
m v^2 r^2 = m v^2 r1^2 - 2 a r - 2 b
m v^2 r^2 + 2 a r + 2 b - m v^2 r1^2 = 0
Частица не упадёт на центр, если это уравнение имеет положительный корень r
Так как сумма корней отрицательно, то для существования положительного корня достаточно отрицательности их произведения (при этом условии автоматически дискриминант будет больше нуля)
2 b - m v^2 r1^2 < 0
m v^2 r1^2 > 2 b
r1^2 > 2 b / (m v^2)
сечение падения равно пи * (r1_min)^2 = 2 пи b /(m v^2)