Что обозначает &quot?

это html-сущность.

Если я не ошибаюсь, это обозначает цитату... Правда мне казалось что пишется она как &quote...

кавычка

Тег цитирования на форумах

" - это дескриптор ascii-сивола кавычек ". У разработчиков скриптов принято экранировать символ кавычек и другие спецсимволы.
То есть, например, если на ВиО вы вводите в своё сообщение/вопрос символ кавычек ", то на сервер он поступает именно в виде ", но специальной функцией в скрипте, обрабатывающем поступивший текст экранируется, то есть заменяется на " . И если вы просматриваете страницу с добавленным сообщением, то видите не " , а нормальный символ ", потому как браузер преобразовывает этот дескриптор.
А вот когда вы открываете свой вопрос для редактирования, то в текстовом поле браузер не заменяет уже " на "; , поэтому вы так и видите эту последовательность, а когда снова сохраняете этот вопрос, забыв про " , то здесь уже сервер получает " - и в этой последовательности заменяет спецсимвол амперсанд & на & , и в чистом виде в сохранённом на сервере сообщении содержится " . Когда этот код получает браузер, он распознаёт & и заменяет его на символ амперсанда & и в итоге вы видите "